极限分析上下限定理基本理论研究

 随着社会的不断发展，结构的安全性和可靠性已经成为现今我们专注的重要课题，都希望可以使材料发挥更大的潜能，减少资源的消耗。因此，开展结构或构件的塑性极限分析对于加强结构的安全性和减少成本具有重要的意义和实用价值。

1. 极限分析中的基本理论

 极限分析理论从20世纪发展至今，已经取得了许多成果。其中经典的分析理论主要是上、下限定理。

  a. 极限分析的下限定理

 假设机构或构件满足平衡方程且处处不违反材料屈服条件的应力场称为静力容许场，与静力容许场对应的荷载是极限荷载的下限，极限荷载是这些下限解中的最大者。下限定理提出了结构不发生塑性破坏的充分条件，利用它可以计算极限荷载的下限。

  b. 极限分析的上限定理

 假设结构或构件满足几何约束条件、能构成几何可变机构且外荷载在其上所作的功率不小于结构内部耗散功率的结构位移速率场称为机动容许速率场，与机动容许速率场对应的荷载就是极限荷载的上限，极限荷载是这些上限解中的最小者。上限定理提出了结构塑性破坏的充分条件，利用其可以计算极限荷载的上限。

2. 屈服条件

 对于任意的结构如果应变会随着应力的卸除而消失就称其为弹性状态，若在应力卸除之后应变不能完全恢复而存在残余变形就称为塑性状态。材料进入或未进人塑性状态的分界面我们称其为屈服面，而屈服面所对应的函数表达式就被称为屈服条件。屈服条件就是材料从弹性状态进入塑性状态时应力分量之间所必须满足的条件。这里主要介绍常用的两种屈服条件。

  a. 最大剪应力条件（Tresca屈服条件）

  最大剪应力条件是1864年法国工程师Tresca在研究中所得出的成果。主要提出了以下假设：当最大剪应力达到某一定值k时，材料就会发生屈服。可以用如下数学式表示：

   T_max=k   （1-5)     

  在σ₁≥σ₂≥σ₃是可以写为：

    σ₁-σ₂=2k  （1-6)

在一般情况下由于主应力的次序是未知的，所以一般 Tresca 屈服条件就表示为：

 如果是纯剪切，则k=r,;而按照Tresca屈服条件，材料的剪切屈服极限与拉伸屈服极限之间存在如下关系：

  Mises 屈服条件是关于应力的函数，对于主应力已知的情况下使用起来极其方便，但它忽略了中间主应力的影响，且屈服线上有角点，在数学处理时非常困难。

 b. Mises 屈服条件

  Mises 屈服条件在应力空间的屈服面是一个垂直于偏量平面π的圆柱它可以表述为：

3. 塑性流动理论和形变理论

 a. 塑性流动理论

  塑性和弹性范围之间的区别就是应力和应变关系是否一一对应。当材料进入塑性状态应力应变关系曲线就是非线性的，但在某一给定的状态下，若有一个应力增量也必然有唯一的应变增量，因此，就可以建立起应力和应变增量之间的关系，而这种用增量形式表示的材料的本构关系就称为流动理论即增量理论。表述如下式：

 b. 塑性变形理论

  变形理论（全量理论）在本质上与非弹性变形理论极为相似，都是对广义Hooke定律的推广。

 全量理论的基本假设：

 c. 增量理论和全量理论的关系

 在简单加载条件下，全量理论与增量理论的关系是一致的。增量理论比全量理论复杂，在数学计算时难度较大，但随着目前计算机技术的发展及有限元方法的使用，增量理论的使用也是越来越广泛。本书极限分析部分就是采用以增量理论为基础的有限元方法确定极限荷载。

 d. 简单加载与复杂加载

 简单加载又称比例加载，其特点是当荷载增加时，物体内每点的应力张量均按比例增加，在任一瞬时的各应力分量有如下式关系:

复杂加载时，某一点的应力张量各分量不按比例加载。由于只有在简单加载或者接近简单加载条件的情况下，流动理论和变形理论得到的结果才相差不大，因此后文计算极限荷载时采用的是简单加载条件。