有限元理论简介

 在科技领域内，只有少数力学问题和物理问题能用解析方法求出解析解，而大多数问题则不能得出解析的答案。对此类问题有两种解决途径：一种是引入简化假设，从而得到问题在简化状态下的解答，但这种方法只在有限的情况下可行，而且由于过多的简化可能导致误差很大甚至得到错误的解；另一种是数值分析方法，即首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后依次建立近似解法。有限单元法是数值分析方法领域内一种极为有效的方法，它不仅可以很好地模拟结构的边界条件，在考虑几何非线性效应时，还可以很好地反映变形对结构刚度的影响，因而在进行复杂问题的研究时，有限元法可以克服公式推导方法的不足。有限元的基本思想是Courant于1943年首先提出的，并将其应用于力学问题的分析。1956年Turner等人首先将有限元法应用于实际工程，对弹性力学平面问题进行了分析，这也是现代有限元法的第一个成功尝试。1960年Clough采用此方法进行飞机结构分析时，首先使用了“有限元”的名称，使人们开始认识了有限元的功效。由于有限元法需要进行大量烦琐的数值计算，在发展的初期，单靠人工是很难完成的，使该方法的应用受到了限制，随着计算机技术的飞速发展，有限元法得到了越来越广泛的应用，并已成为解决工程力学问题的最有效方法。

 有限元法的基本思想是：将连续的求解域离散为一组有限个，且按一定方式互相连接在一起的单元组合体，从而模型化几何形状复杂的求解域，并将单元里未知函数设为简单形式，将微分方程组转化为节点变量的代数方程组，然后推导出求解域整体满足的条件，从而得出问题的解。这个解是所求解问题的近似解，但它的精度已足够满足工程需要，而且随着单元数目和单元自由度的增加，解的近视程度不断提高，若单元是满足收敛要求的，近似解最终将收敛于精确解。

 采用有限元法对各种问题进行求解的基本步骤是相同的，只是对不同类型问题需作相应修改。具体求解主要分成三个部分：前处理部分、有限元分析的主体部分（即求解部分）和后处理部分。前处理部分是将实际问题模型化，并给出载荷信息及能够满足精度要求的单元划分。求解部分是整个分析过程的核心部分，它根据离散模型的数据文件进行有限元分析，有限元分析的原理和采用的数值方法均集中于此。后处理部分是得出分析对象的全貌，即采集处理分析结果，通过图形显示和结果列表等得到有用的信息。

 近年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，有限单元法在工程中得到了越来越广泛的应用，迅速从结构工程强度分析扩展到几乎所有的科技领域，成为一种应用广泛且高效实用的数值分析方法。有限单元法已经不仅可以用于平面问题，还可以用于空间问题、板壳问题，不仅可以研究静力平衡问题，还可以研究稳定性问题、动力问题和波动问题。分析的对象也从弹性材料扩展到塑性、黏弹性和复合材料等。以虚拟样机为代表的计算机辅助工程（CAE)技术在产品开发、研制中显示出无与伦比的优越性，在工程分析设计和产品研制领域发挥着越来越重要的作用。